Ministerio de Cultura y Educación Universidad Nacional de San Luis Facultad de Ciencias Físico-Matemáticas y Naturales Departamento: Matematicas Área: Matematicas |
I - Oferta Académica | ||||||||||
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II - Equipo Docente | ||||||||
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III - Características del Curso | |||||||||||||||||||||||||||||||
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IV - Fundamentación |
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Funciones analíticas es una herramienta básica en diversos campos del Análisis Matemático (series de Fourier, ecuaciones diferenciales, etc.). La materia pretende dotar al alumno de los conocimientos y técnicas básicas del Análisis Complejo en una variable.
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V - Objetivos |
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Alcanzar competencias básicas en:
1. Los resultados fundamentales de Funciones Analíticas en una variable y sus técnicas matemáticas particulares 2. Las técnicas elementales de utilización del Análisis complejo en ramas del Análisis. |
VI - Contenidos |
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Tema 1: Números complejos.
Definición. Propiedades algebraicas. Forma binómica. Representación geométrica. Módulo y argumento. Forma polar o trigonométrica. Forma exponencial. Potencias enteras y raíces. Regiones del plano complejo. Tema 2: Funciones complejas. Definición. Representación gráfica. Límite. Continuidad. Derivada. Ecuaciones de Cauchy-Riemann. Funciones analíticas. Funciones elementales y transformaciones asociadas. Funciones multivaluadas. Tema 3: Integración. Contornos. Integrales de contorno. Teorema de Cauchy-Goursat. Integrales indefinidas. Fórmula integral de Cauchy. Diferenciabilidad infinita de las funciones analíticas. Funciones armónicas. Tema 4: Series. Convergencia de sucesiones y series. Series de potencias. Serie de Taylor. Teoremas de unicidad. Principio del módulo máximo. Series de Laurent. Residuos y polos. Evaluación de integrales definidas. Integrales de funciones multivaluadas. Ceros de funciones analíticas. Tema 5: Ecuación de Laplace. Función armónica conjugada. Integral de Poisson. Fórmula de Schwarz. El problema de Dirichlet. Transformaciones conforme. Continuación analítica. El principio de simetría. |
VII - Plan de Trabajos Prácticos |
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Los prácticos consistirán en la resolución de ejercicios seleccionados de la bibliografía básica.
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VIII - Regimen de Aprobación |
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REGULARIZACIÓN:
Aprobar dos parciales, uno al promediar el curso y otro al final. Aprobación: 6/10. Cada parcial admite una recuperación, pero el alumno que no apruebe ninguno de los dos parciales pasa directamente al general. Estos recuperatorios se tomarán al finalizar el curso. El parcial general recuperatorio que tendrá lugar no más allá de siete (7) días de la finalización del curso. No hay Promoción sin Examen en esta materia. Se puede aprobar como Libre. Para ello el alumno debe rendir en los turnos habilitados para tal fin, un examen de la parte practica. Si lo aprueba rinde la parte teórica en las mismas condiciones que un alumno regular. |
IX - Bibliografía Básica |
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[1] Silverman R. A., Complex Analysis with Applications, Dover, 1974.
[2] Silverman R. A., Introductory Complex Analysis, Dover, 1972. [3] Churchill R. V., Brown J. W., Variable compleja y aplicaciones, Mc Graw Hill, 1988. |
X - Bibliografia Complementaria |
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[1] Ahlfors L., Análisis de variable compleja, Ed. Aguilar, 1971.
[2] Apostol T. M., Análisis matemático, Editorial Reverté, 1976. [3] Cartan H., Teoría elemental de funciones analíticas de una o varias variables complejas, Ed. Selecciones Científicas, 1968. [4] Markushevich A., Theory of functions of a complex variable, Prentice-Hall, 1965, 1967. [5] Rudin W., Análisis real y complejo. Tercera edición, McGraw Hill, 1988. |
XI - Resumen de Objetivos |
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Alcanzar competencias básicas en: 1. Los resultados fundamentales de Funciones Analíticas en una variable y sus técnicas matemáticas particulares 2. Las técnicas elementales de utilización del Análisis complejo en ramas del Análisis. |
XII - Resumen del Programa |
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Ecuaciones de Cauchy-Riemann. Teorema y fórmula integral de Cauchy. Series de Taylor y de Laurent. Principio del módulo máximo. Residuos y polos. Ceros de funciones analíticas. Funciones armónicas. El problema de Dirichlet. Transformación conforme. Prolongación analítica. |
XIII - Imprevistos |
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